Богатство и разнообразие теории функций комплексного переменного обусловлено взаимодействием геометрии и анализа. Когда речь заходит о комплексном числе z = x + iy (где i2 = -1), мы можем представить его как число, удовлетворяющее правилам алгебры или как точку на декартовой (или комплексной) плоскости с координатами x и y. Производя операции над комплексными числами, мы можем использовать либо алгебраические методы, либо геометрические, либо комбинацию того и другого. Абсолютной величиной или модулем комплексного числа называется положительное действительное число , или расстояние от z до начала координат. Этот двойственный аспект был отмечен и использован К.Гауссом (1777-1855) и Х.Гамильтоном (1805-1865).

Но основной интерес здесь для нас представляют не комплексные числа сами по себе, а комплексные функции. Комплексная функция F, областью определения которой служит множество D комплексной плоскости Z ставит в соответствие каждой точке z из D, вообще говоря, другое комплексное число F(z). Чтобы получить геометрическую интерпретацию такой функции, возьмем вторую комплексную плоскость с точками w = u + iv и отметим точки w = F(z). В результате мы получим новое множество точек (некоторые из которых могут возникать от различных значений z). Новую плоскость w часто считают результатом отображения или преобразования области D (см. рис. 5). Действительную и мнимую части функции F(z) представляют две действительные функции . и ?, которые можно рассматривать либо как действительные функции переменной z, либо как действительные функции переменных x и y:

Например, если каждому z мы ставим в соответствие комплексное число w = F(z) = z2, полагая w = u + iv и z = x + iy, выделив отдельно действительную и мнимую части, то получим:

С другой стороны, если F(z) = 2z + 3i , где означает комплексное число x - iy, сопряженное с z, получаем:

Важный класс комплексных функций состоит из полиномиальных функций или многочленов P. Если C0, C1, ..., Cn - комплексные числа, то многочлен P определяется как

Простым примером многочленов может служить w = z2. Точно также, как мы представили в действительном виде эту простую полиномиальную функцию, мы можем представить и многочлен (4), записав каждый коэффициент ck в виде ak + ibk и произведя умножение. Однако, хотя на первый взгляд отображение (3) имеет более простую структуру, можно показать, что его нельзя записать в виде многочлена.

Такое различие в структуре стало основанием для выделения особого класса функций комплексного переменного, которые получили название аналитических (иногда их также называют голоморфными или моногенными). Идея заключалась в том, чтобы выделить те функции, которые представимы с помощью формул, содержащих z, а не x и y в отдельности (такие функции можно было бы "анализировать" как функции непосредственно от z) аналогично тому, как содержат z многочлены. Класс аналитических функций выбран так, чтобы он содержал все рациональные функции R(z) = P(z)/Q(z), где P и Q - многочлены типа (4); о таких функциях говорят, что они аналитичны на всей плоскости, кроме точек z, в которых Q(z) = 0, так как в этих точках R(z) не определена. Например, функция w = (z2 - 1)/(z2 + 1) аналитична на всей плоскости, за исключением точек i и ?i. Самыми общими аналитическими функциями являются функции, которые получаются взятием соответствующих пределов от рациональных функций. В частности, следуя подходу, предложенному гораздо позднее К.Рунге (1856-1927), функция F(z), определенная в области D, называется аналитической, если можно выбрать подмножество D0, принадлежащее D, и, задав сколь угодно малую допустимую погрешность . 0, найти некоторую рациональную функцию R(z), аппроксимирующую функцию F(z) на D0, так, чтобы |F(z) - R(z)| никогда не превышало . при любом z из D0.

Более традиционный подход к аналитическим функциям основан на понятии производной. Из математического анализа берется элементарное определение производной и ставится вопрос, может ли функция F иметь комплексную производную F?, задаваемую такой же формулой, как в анализе, т.е.

Предельный переход здесь понимается применительно к плоскости: говорят, что

существует, если все значения g(z) лежат вблизи A, когда z принадлежит достаточно малой окрестности точки z0. Математикам начала 18 в. было ясно, что такое дифференцирование осуществимо для многих конкретных функций F, в том числе для многочленов P, задаваемых формулой (4). В этом случае

что полностью согласуется с правилами элементарного математического анализа.

Естественно, что класс всех функций F, для которых возможно дифференцирование, оказался под пристальным вниманием; эти функции получили название моногенных, впоследствии - аналитических функций. Требование дифференцируемости может быть переведено на язык ограничений на действительные функции . и ?, составляющие функцию F. Если F(z) = w = u + iv = ?(x,y) + i. (x,y), то можно вычислить четыре первые частные производные от . и ?, обозначив их ?x, ?y, ?x, ?y или

Расположим эти четыре функции в виде таблицы или матрицы размером 2?2:

Можно показать, что из существования производной (5) следует, что матрица (6) должна иметь вид

Соответственно, действительная и мнимая части функции F должны удовлетворять так называемым дифференциальным уравнениям Коши - Римана:

Смысл этих соотношений можно лучше понять, если иметь ввиду, что матрица (6) в данном случае представляет то, что в современном математическом анализе принято называть дифференциалом отображения F и что матрицы вида (7) образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.

Возвращаясь к иллюстративным примерам (2) и (3), мы видим, что соответствующие матрицы имеют вид

Таким образом, мы заключаем, что функция (2) аналитическая, а функция (3) - не аналитическая.

Аналитические функции, более общие, чем многочлены, легко строятся с помощью бесконечных рядов; если |cn| . RnA при n = 0, 1, ..., то ряд

сходится в открытом "диске" (области, заключенной внутри окружности) радиуса R с центром в точке b и в этом диске определяет аналитическую функцию. С помощью бесконечного ряда можно определить, например, экспоненциальную и тригонометрические функции

каждая из которых аналитична для любых значениях z на плоскости. Используя операции с бесконечными рядами, можно также вывести тождества

Таким образом, комплексные экспоненциальная и тригонометрические функции удовлетворяют тем же тождествам, что и соответствующие действительные функции в математическом анализе и тригонометрии. Если действительное число e определено как значение экспоненциальной функции

то exp(z) можно принять за определение функции e как для действительных, так и для комплексных z. Из формулы (11) следует, что . В сочетании с надлежащим определением логарифмической функции это позволяет дать вполне приемлемое определение величины ab для произвольных действительных или комплексных чисел a и b, a . 0.

Большая заслуга в развитии этой области математики принадлежит О.Коши (1789-1857), систематизировавшему массу результатов, которые ранее некритически и формально трактовались в работах Л.Эйлера (1707-1783) и других математиков, и создавшему на этой основе последовательную и удивительно красивую теорию. Однако следующие поколения математиков обнаружили, что многие доказательства Коши неполны. Современную форму теория функций комплексного переменного обрела в работах Б.Римана (1826-1866), К.Вейерштрасса (1815 - 1897) и других математиков. Основным итогом их усилий явилось доказательство полного совпадения класса аналитических функций с классом функций, представимых "локально" (т.е. в окрестности каждой точки) сходящимся степенным рядом. Коэффициенты этого ряда имеют вид cn = f (n) (z0)/n !, а ряд с такими коэффициентами известен в математическом анализе как ряд Тейлора. Доказательство этой эквивалентности, как и многих других важных свойств аналитических функций, опирается на замечательное открытие Коши и Д.Мореры (1856-1909), показавших, что аналитические функции можно задавать не только с помощью производных, но и интегралов; аналитическими являются те непрерывные функции f, для которых интеграл по контуру . на комплексной плоскости

всегда равен нулю для любой достаточно малой простой замкнутой кривой ?, лежащей в области D. Причина этого заключена в уравнениях Коши - Римана (8) и в формуле для действительных интегралов, получившей название теоремы Грина в честь Дж.Грина (1792 - 1841). Пусть D0 - часть области D, ограниченная контуром ?. Тогда теорема Грина утверждает, что для произвольных функций A (x, y) и B (x, y)

Применяя ее к двум действительным интегралам, на которые распадается , получаем

и, следовательно,

Этот результат, названный интегральной теоремой Коши, позволяет, в свою очередь, получить интегральную формулу Коши

дающую выражение для дифференцируемой функции во внутренних точках замкнутого контура через значения функции на самом контуре.

Из формулы (12) следует удивительный вывод: если функция f аналитична в области D, то она не только имеет производную f ?, определенную в каждой точке области D, но и эта новая функция f . также аналитична в D. Продолжая по индукции, мы заключаем, что аналитическая функция обладает производными всех порядков, каждая из которых аналитична. В этом - существенное различие между теориями функций действительного и комплексного переменного: в теории функций действительного переменного функция g может иметь производную g?(x), определенную для всех действительных чисел x, но производная g?(x) может не быть дифференцируемой и даже непрерывной. (Такова, например, g (x) = x2 sin(1/x).)

раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что обычно их рассматривают порознь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что по существу речь идет о различии, с одной стороны, в детальном изучении основных понятий математического анализа (таких, как непрерывность, дифференцирование, интегрирование и т.п.), а с другой стороны, в теоретическом развитии анализа конкретных функций, представимых степенными рядами. Одним из достижений теории функций действительного переменного стало создание хорошей теории интегрирования, которую мы рассмотрим ниже. См. также АНАЛИЗ В МАТЕМАТИКЕ
; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
; ФУНКЦИЯ
; ЧИСЛО
; РЯДЫ
; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
; ТОПОЛОГИЯ
.

См. также: